Методические элементы введения комбинаторики

Страница 7

1) либо Антон и Борис;

2) либо Антон и Виктор;

3) либо Борис и Виктор.

Ответ: 3 варианта.

Пример 8. Три друга, Антон, Борис и Виктор, приобрели два билета на футбольный матч на 1-е и 2-е места первого ряда стадиона. Сколько существует способов занять эти два места на стадионе? Записать все виды вариантов.

Решение. Для удобства перечисления всех возможных вариантов размещения друзей на 1-е и 2-е места будем вместо полных имен мальчиков записывать лишь их первые буквы. При этом запись АБ будет означать, что на первом месте сидит Антон, а на втором - Борис. Способ составления комбинаций будет следующим: после записи каждой пары имен мальчиков, идущих на матч (по результатам решения предыдущей задачи таких пар три), запишем новые пары, полученные перестановкой букв. Такая перестановка обозначает пересаживания мальчиков со своего места на место друга.

Ответ: 6 способов: АБ, БА, АВ, ВА, БВ, ВБ.

Заметим, что пары мальчиков, составленные в примерах? и?, существенно отличаются друг от друга. В первой задаче нас не интересовал порядок рассаживания двух из трех мальчиков по местам, т.е. пары А и Б, Б и А считались одной и той же парой мальчиков, идущих на матч. Во второй же задаче пары АБ и БА были различными парами, так как нас интересовал и порядок рассаживания мальчиков на двух местах (поэтому в примере? количество вариантов пар было в два раза больше, чем в примере?).

Говоря математическим языком, в примере? были составлены всевозможные сочетания из трех элементов по два: пары элементов, выбранные из имеющихся трех элементов А, Б и В. Пары отличались друг от друга лишь составом элементов, а порядок расположения в паре, т.е. все составленные пары отличались друг от друга либо составом элементов, либо их расположением в паре. В комбинаторике такие пары называют размещениями из трех элементов по паре.

Если нужно представить комбинацию некоторых элементов, в которой порядок расположения элементов не важен, то удобно записывать (перечислять) эти элементы через запятую (например, А, Б и Б, А - одна и та же пара элементов). Если же порядок расположения элементов в комбинации важен, то в последовательности записи элементов запятую ставить не нужно (например, АБ и БА - разные пары).

Пример 9. Антону, Борису и Виктору повезло, они купили 3 билета на футбол на 1-е, 2-е и 3-е места первого ряда стадиона. Сколькими способами могут занять мальчики эти места?

Решение. Число способов будет таким же, как и в примере?. Действительно, если к каждой паре мальчиков, сидящих на 1-м и 2-м местах, посадить на 3-е место их друга, не попавшего ранее по условию примере? на матч, то будут составлены всевозможные варианты (обозначенные тройками букв) рассаживания мальчиков по трем местам: АБВ, БАВ, АВБ, ВАБ, БВА, ВБА.

Ответ: шестью способами.

Говоря математическим языком, в примере? были составлены всевозможные перестановки из трех элементов - комбинации из трех элементов, отличающихся друг от друга порядком расположения в них элементов. Элементы в комбинациях не повторялись.

Пример 10. Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2 и 3 при условии, что:

1) цифры в числе должны быть различны;

2) цифры в числе могут повторяться?

Решение.1) Способ составления трехзначных чисел из различных цифр аналогичен способу записи троек букв в примере?:

123; 213; 132; 312; 231; 321.

Получили 6 чисел.

2) Перебор вариантов организуем следующим образом. Выпишем все числа в три блока: в первом - числа, начинающиеся цифрой 1, в порядке их возрастания; во втором - числа, начинающиеся цифрой 2, в порядке возрастания; в третьем - начинающиеся цифрой 3, в порядке возрастания.

111; 112; 112; 211; 212; 213; 311; 312; 313;

121; 122; 123; 221; 222; 223; 321; 322; 323;

131; 132; 133; 231; 232; 233; 331; 332; 333.

Страницы: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12


Новое в образовании:

А. де Сент-Экзюпери. Маленький принц
Вот тут-то и появился Лис . —Поиграй со мной, — попросил Маленький принц. — Мне так грустно. —Не могу я с тобой играть, — сказал Лис. — Я не приручен. —Ах, извини, — сказал Маленький принц. Но, подумав, спросил: —А как это — приручить? —Это давно забытое понятие, — объяснил Лис. — Оно означает: соз ...

Методические элементы введения комбинаторики
Предлагаемый материал рекомендуется изучать в конце VII класса, исходя из тех соображений, что к этому времени у школьников еще свежи арифметические знания, сохранилась память о предметных действиях, но уже стало очевидным влияние алгебраических и геометрических знаний, т.е. наблюдается стремление ...

Формы и методы индивидуализации в обучении
В учениях Инге Унт при использовании понятия "индивидуализация обучения” необходимо иметь в виду, что при его практическом исследовании речь идёт не об абсолютной, а об относительной индивидуализации. Инге Унт считает, что в реальной школьной практике индивидуализация всегда относительна по сл ...

Меню сайта

Copyright © 2022 - All Rights Reserved - www.powereducator.ru