Методические элементы введения комбинаторики

1) либо Антон и Борис;

2) либо Антон и Виктор;

3) либо Борис и Виктор.

Ответ: 3 варианта.

Пример 8. Три друга, Антон, Борис и Виктор, приобрели два билета на футбольный матч на 1-е и 2-е места первого ряда стадиона. Сколько существует способов занять эти два места на стадионе? Записать все виды вариантов.

Решение. Для удобства перечисления всех возможных вариантов размещения друзей на 1-е и 2-е места будем вместо полных имен мальчиков записывать лишь их первые буквы. При этом запись АБ будет означать, что на первом месте сидит Антон, а на втором - Борис. Способ составления комбинаций будет следующим: после записи каждой пары имен мальчиков, идущих на матч (по результатам решения предыдущей задачи таких пар три), запишем новые пары, полученные перестановкой букв. Такая перестановка обозначает пересаживания мальчиков со своего места на место друга.

Ответ: 6 способов: АБ, БА, АВ, ВА, БВ, ВБ.

Заметим, что пары мальчиков, составленные в примерах? и?, существенно отличаются друг от друга. В первой задаче нас не интересовал порядок рассаживания двух из трех мальчиков по местам, т.е. пары А и Б, Б и А считались одной и той же парой мальчиков, идущих на матч. Во второй же задаче пары АБ и БА были различными парами, так как нас интересовал и порядок рассаживания мальчиков на двух местах (поэтому в примере? количество вариантов пар было в два раза больше, чем в примере?).

Говоря математическим языком, в примере? были составлены всевозможные сочетания из трех элементов по два: пары элементов, выбранные из имеющихся трех элементов А, Б и В. Пары отличались друг от друга лишь составом элементов, а порядок расположения в паре, т.е. все составленные пары отличались друг от друга либо составом элементов, либо их расположением в паре. В комбинаторике такие пары называют размещениями из трех элементов по паре.

Если нужно представить комбинацию некоторых элементов, в которой порядок расположения элементов не важен, то удобно записывать (перечислять) эти элементы через запятую (например, А, Б и Б, А - одна и та же пара элементов). Если же порядок расположения элементов в комбинации важен, то в последовательности записи элементов запятую ставить не нужно (например, АБ и БА - разные пары).

Пример 9. Антону, Борису и Виктору повезло, они купили 3 билета на футбол на 1-е, 2-е и 3-е места первого ряда стадиона. Сколькими способами могут занять мальчики эти места?

Решение. Число способов будет таким же, как и в примере?. Действительно, если к каждой паре мальчиков, сидящих на 1-м и 2-м местах, посадить на 3-е место их друга, не попавшего ранее по условию примере? на матч, то будут составлены всевозможные варианты (обозначенные тройками букв) рассаживания мальчиков по трем местам: АБВ, БАВ, АВБ, ВАБ, БВА, ВБА.

Ответ: шестью способами.

Говоря математическим языком, в примере? были составлены всевозможные перестановки из трех элементов - комбинации из трех элементов, отличающихся друг от друга порядком расположения в них элементов. Элементы в комбинациях не повторялись.

Пример 10. Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2 и 3 при условии, что:

1) цифры в числе должны быть различны;

2) цифры в числе могут повторяться?

Решение.1) Способ составления трехзначных чисел из различных цифр аналогичен способу записи троек букв в примере?:

123; 213; 132; 312; 231; 321.

Получили 6 чисел.

2) Перебор вариантов организуем следующим образом. Выпишем все числа в три блока: в первом - числа, начинающиеся цифрой 1, в порядке их возрастания; во втором - числа, начинающиеся цифрой 2, в порядке возрастания; в третьем - начинающиеся цифрой 3, в порядке возрастания.

111; 112; 112; 211; 212; 213; 311; 312; 313;

121; 122; 123; 221; 222; 223; 321; 322; 323;

131; 132; 133; 231; 232; 233; 331; 332; 333.

Новое в образовании:

Высшее образование «длинного» цикла
Университеты являются единственными учреждениями, которые принимают всех кандидатов без предварительного отбора (хотя негласно и нелегально существует отбор по оценкам на степень бакалавра) и именно поэтому в университетах часто оказываются студенты, просто не поступившие в другие школы. Более поло ...

Исторический аспект изучения вопроса пересказа на уроках чтения
Устная традиция накопления, хранения материала и его обмена существовала уже в глубокой древности. Вся передача знаний осуществлялась путем запоминания и воспроизведения, т.е. пересказа. В настоящее время нет единой точки зрения на понятие пересказа. Многие известные педагоги давали свое определени ...

Парадигмальные изменения в образовании как социальное явление и педагогический феномен
Каждая историческая эпоха вырабатывает собственную образовательную парадигму, которая является порождающей моделью, идеальной структурой организации воспитательного и обучающего процесса. Основными содержательными вопросами при определении специфических черт той или иной эпохальной образовательной ...