Методические элементы введения комбинаторики

7. На стол бросают 2 игральных тетраэдра (серый и белый), на гранях каждого из которых точками обозначены числа от 1 до 4. Сколько различных пар чисел может появиться на гранях этих тетраэдров, соприкасающихся с поверхностью стола?

8. В киоске продается пять видов мороженого (не менее двух брикетов каждого вида). Оля и Таня хотят купить по одному брикету. Сколько существует вариантов такой покупки?

9. Мама решила сварить компот из фруктов двух различных видов. Сколькими способами мама может это сделать, если у нее имеется 7 видов фруктов?

10. Из коробки, содержащей 8 мелков различных цветов, Гена и Таня берут по одному мелку. Сколько существует вариантов такого выбора?

11. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых используются цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если:

1) цифры в числе могут повторяться;

2) цифры в числе должны быть различны.

12. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, если:

1) цифры в числе могут повторяться;

2) цифры в числе должны быть различны.

Перестановки

Пример 16. Семиклассники Анна, Борис, Виктор и Галина побежали на перемене к теннисному столу, за которым уже шла игра. Сколькими способами подбежавшие к столу семиклассники могут занять очередь для игры в настольный теннис?

Решение. Первым (I) в очереди мог стать любой из четырех семиклассников, вторым (II) - любой из оставшихся трех, третьим (III) - любой из оставшихся двух и четвертым (IV) - семиклассник, подбежавший последним. По правилу произведения у четверых ребят существует =24 способа занять очередь. Рис.17 иллюстрирует решение с помощью дерева вариантов.

Ответ: 24 способа.

В примере 16 были подсчитаны всевозможные комбинации из четырех элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения в них элементов. Такие комбинации называются перестановками из четырех элементов.

Комбинации из n элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения в них элементов, называются перестановками из n элементов. Число всевозможных перестановок из n элементов обозначают Pn (P - первая буква французского слова permutation - перестановка). Читается: ”Число перестановок из эн элементов" или ”Пэ из эн”. В примере 16 было показано, что P4 = 4·3·2·1. Пользуясь переместительным законом умножения, можно записать P4 = 1·2·3·4. С помощью правила произведения можно обосновать, что

.

После применения переместительного закона умножения эту формулу можно переписать в виде

(2.5).

Таким образом, число перестановок из n элементов равно произведению всех натуральных чисел от 1 до n.

Пример 17. Сколько различных пятизначных чисел, все цифры которых различны, можно записать с помощью цифр 4, 5, 6, 7 и 8? Решение. Задача сводится к подсчету чисел перестановок из пяти элементов.

.

Ответ: 120 различных чисел.

Для сокращения записи произведения первых n натуральных чисел в математике используется символ n! (читается как ”Эн факториал”), т.е.

,

и формула (2.5) приобретает вид

(2.6).

Пример 18. Сколькими способами можно расставить на полке 8 книг, если среди них 2 книги одного автора, которые при любых перестановках должны стоять рядом?

Решение. Первоначально будем считать 2 книги одного автора единой книгой. Тогда количество способов расстановки условных семи книг на полке будет равно числу перестановок из 7 элементов:

.

Новое в образовании:

Анализ результатов исследования
Было проведено 3 урока в 1 “а” классе по изобразительному искусству с применение ЭВМ. Делая заключение из этих уроков можно сказать, что применение ЭВМ очень эффективно помогает в развитии познавательного процесса младших школьников. Все дети работали очень увлеченно, дисциплина на уроке была отлич ...

Организация обмена данными. Редактирование текста
Цель: Формировать навыки простейшего редактирования текста: вставка и удаление слов, удаление лишних символов, напечатание недостающих символов, вставка и удаление пустых строк, копирование и вставка слов. Ход урока Организационный момент. Повторение пройденного. Каково основное назначение текстово ...

Сказка как средство воспитания положительных нравственных качеств личности дошкольников
Еще древние римляне говорили, что "корень учения горек". Но зачем, же учить с горькими и бесполезными слезами тому, чему можно выучиться с улыбкой? Если ребенку интересно, то и "корень" учения может изменить свой вкус и даже вызвать у детей вполне здоровый аппетит. Дошкольное де ...