Предлагаемый материал рекомендуется изучать в конце VII класса, исходя из тех соображений, что к этому времени у школьников еще свежи арифметические знания, сохранилась память о предметных действиях, но уже стало очевидным влияние алгебраических и геометрических знаний, т.е. наблюдается стремление к обобщению, алгоритмизации полученной информации, повышается графическая культура. Материал для этого раздела взят из журнала ”Математик в школе".
Основная цель изучения комбинаторики в старшей школе и в вузе - это получение средств решения вероятностных задач. В основной же школе комбинаторика призвана, в основном, сформировать так называемое комбинаторное мышление, позволяющее человеку разумно организовать перебор ограниченного числа данных, подсчитать всевозможные комбинации элементов, составленных по определенному правилу.
В математике существует немало задач, в которых требуется из имеющихся элементов составить различные наборы, подсчитать количество всевозможных комбинаций элементов, образованных по определенному правилу. Такие задачи называются комбинаторными, а раздел математики, занимающийся решением этих задач, называется комбинаторикой.
Некоторые комбинаторные задачи еще в Древнем Китае, а позднее - в Римской империи. Однако как самостоятельный раздел математики комбинаторика оформилась в Европе лишь в XVIII в. в связи с развитием теории вероятностей.
В древности для облегчения вычислений часто использовали камешки. При этом особое внимание уделялось числу камешков, которые можно было разложить в виде правильной фигуры. Так появились квадратные числа (1, 4, 16, 25, …). На рис.1 показано правило их изображения.
Рисунок 1
Любое n-е по порядку квадратное число вычисляется по формуле
N=n2 (2.2)
Были сконструированы треугольные (1, 3, 6, 10, 15, …) и пятиугольные (1, 5, 12, 22, …) числа.
На рис.2 и 3 показан способ образования этих чисел.
Любое n-e по порядку треугольное число можно найти по формуле
(2.3),
а любое n-e по порядку пятиугольное - по формуле
(2.4).
Рисунок 2
Рисунок 3
Все остальные числа древние математики представляли в виде прямоугольника размером m x n, выложенных из камней, где обязательно m1 и n
1 (на рис.6 изображены всевозможные представления составного числа 12). Простые числа представляли в виде линий 1x n (рис.5). В связи с этим составные числа древние ученые называли прямоугольными, а простые - непрямоугольными числами.
Рисунок 4
Рисунок 5
Пример 4. Найти седьмое по порядку:
1) квадратное число;
2) треугольное число;
3) пятиугольное число.
Решение:
1) по формуле N=n2 при n=7 находим N=72=49.
по формуле при n=7 находим
.
по формуле при n=7 находим
.
Магические квадраты
Поместим натуральные числа от 1 до 9 в клетках квадрата размером 3 x 3 таким образом, чтобы все суммы чисел по горизонтали и по вертикали, а также по диагоналям были равны 15 (рис.6). Полученный квадрат, а также другие квадраты с теми же свойствами называют магическими квадратами.
6 |
1 |
8 |
7 |
5 |
3 |
2 |
9 |
4 |
Новое в образовании:
Материалы, применяемы в декоративной лепке
Для организации занятий по декоративной лепке с детьми 5-7 лет используют глину и пластилин. Человек с древних времен знает, что из глины можно лепить, и с давних времен люди занимались гончарным делом. Глина вошла в быт человека, из нее готовят посуду, глиняными, обожженными плитками покрывают кры ...
Высшее образование, «длинный» цикл
В развитых странах практически завершено внедрение трехступенчатой модели организации стационарного послесреднего образования. Она представляет собой три более или менее самостоятельных и вместе с тем взаимосвязанных цикла обучения. Каждый цикл рассматривается как одна из ступеней высшего образован ...
Проведение формирующего эксперимента и анализ его результатов
Как отмечалось выше, формирующий эксперимент проводился нами на той же базе, что и констатирующий: национальный центр развития «Этнос», средняя школа №9, Тюменский центр логопедии и развития речи. В формирующем эксперименте приняли участие 10 детей татарской национальности, обследованных нами на пе ...