Методические элементы введения комбинаторики

Страница 1

Предлагаемый материал рекомендуется изучать в конце VII класса, исходя из тех соображений, что к этому времени у школьников еще свежи арифметические знания, сохранилась память о предметных действиях, но уже стало очевидным влияние алгебраических и геометрических знаний, т.е. наблюдается стремление к обобщению, алгоритмизации полученной информации, повышается графическая культура. Материал для этого раздела взят из журнала ”Математик в школе".

Основная цель изучения комбинаторики в старшей школе и в вузе - это получение средств решения вероятностных задач. В основной же школе комбинаторика призвана, в основном, сформировать так называемое комбинаторное мышление, позволяющее человеку разумно организовать перебор ограниченного числа данных, подсчитать всевозможные комбинации элементов, составленных по определенному правилу.

В математике существует немало задач, в которых требуется из имеющихся элементов составить различные наборы, подсчитать количество всевозможных комбинаций элементов, образованных по определенному правилу. Такие задачи называются комбинаторными, а раздел математики, занимающийся решением этих задач, называется комбинаторикой.

Некоторые комбинаторные задачи еще в Древнем Китае, а позднее - в Римской империи. Однако как самостоятельный раздел математики комбинаторика оформилась в Европе лишь в XVIII в. в связи с развитием теории вероятностей.

В древности для облегчения вычислений часто использовали камешки. При этом особое внимание уделялось числу камешков, которые можно было разложить в виде правильной фигуры. Так появились квадратные числа (1, 4, 16, 25, …). На рис.1 показано правило их изображения.

Рисунок 1

Любое n-е по порядку квадратное число вычисляется по формуле

N=n2 (2.2)

Были сконструированы треугольные (1, 3, 6, 10, 15, …) и пятиугольные (1, 5, 12, 22, …) числа.

На рис.2 и 3 показан способ образования этих чисел.

Любое n-e по порядку треугольное число можно найти по формуле

(2.3),

а любое n-e по порядку пятиугольное - по формуле

(2.4).

Рисунок 2

Рисунок 3

Все остальные числа древние математики представляли в виде прямоугольника размером m x n, выложенных из камней, где обязательно m1 и n1 (на рис.6 изображены всевозможные представления составного числа 12). Простые числа представляли в виде линий 1x n (рис.5). В связи с этим составные числа древние ученые называли прямоугольными, а простые - непрямоугольными числами.

Рисунок 4

Рисунок 5

Пример 4. Найти седьмое по порядку:

1) квадратное число;

2) треугольное число;

3) пятиугольное число.

Решение:

1) по формуле N=n2 при n=7 находим N=72=49.

по формуле при n=7 находим .

по формуле при n=7 находим .

Магические квадраты

Поместим натуральные числа от 1 до 9 в клетках квадрата размером 3 x 3 таким образом, чтобы все суммы чисел по горизонтали и по вертикали, а также по диагоналям были равны 15 (рис.6). Полученный квадрат, а также другие квадраты с теми же свойствами называют магическими квадратами.

6

1

8

7

5

3

2

9

4

Страницы: 1 2 3 4 5 6


Новое в образовании:

Современные подходы к проблеме моно и политехнизма в сравнении с общетехнической и технологической подготовкой учителя
Существует распространенное мнение, что основной задачей технологического образования уже на школьной скамье является формирование профессиональных навыков. Однако многие исследователи подчеркивают, что в современных условиях технологическое образование нужно рассматривать как процесс и результат у ...

Работа с учащимися
Работа с учащимися предполагает два направления деятельности: проведение диагностики и развивающих занятий. Для исследования творческих качеств детей мы использовали следующие методики. Опросник креативности Рензулли. Это объективный, состоящий из 10 пунктов, список характеристик творческого мышлен ...

Организация учебного процесса по ПФСС
Изучение дисциплины ПФСС имеет ряд особенностей, отливающих ее от других дисциплин учебного плана. Во-первых, учебные группы здесь формируются с учетом вида спорта и подготовленности, принятых в вуз. Это дает возможность избежать лишних затрат времени на начальное освоение основ вида спорта и созда ...

Меню сайта

Copyright © 2020 - All Rights Reserved - www.powereducator.ru