Методические элементы введения комбинаторики

Предлагаемый материал рекомендуется изучать в конце VII класса, исходя из тех соображений, что к этому времени у школьников еще свежи арифметические знания, сохранилась память о предметных действиях, но уже стало очевидным влияние алгебраических и геометрических знаний, т.е. наблюдается стремление к обобщению, алгоритмизации полученной информации, повышается графическая культура. Материал для этого раздела взят из журнала ”Математик в школе".

Основная цель изучения комбинаторики в старшей школе и в вузе - это получение средств решения вероятностных задач. В основной же школе комбинаторика призвана, в основном, сформировать так называемое комбинаторное мышление, позволяющее человеку разумно организовать перебор ограниченного числа данных, подсчитать всевозможные комбинации элементов, составленных по определенному правилу.

В математике существует немало задач, в которых требуется из имеющихся элементов составить различные наборы, подсчитать количество всевозможных комбинаций элементов, образованных по определенному правилу. Такие задачи называются комбинаторными, а раздел математики, занимающийся решением этих задач, называется комбинаторикой.

Некоторые комбинаторные задачи еще в Древнем Китае, а позднее - в Римской империи. Однако как самостоятельный раздел математики комбинаторика оформилась в Европе лишь в XVIII в. в связи с развитием теории вероятностей.

В древности для облегчения вычислений часто использовали камешки. При этом особое внимание уделялось числу камешков, которые можно было разложить в виде правильной фигуры. Так появились квадратные числа (1, 4, 16, 25, …). На рис.1 показано правило их изображения.

Рисунок 1

Любое n-е по порядку квадратное число вычисляется по формуле

N=n2 (2.2)

Были сконструированы треугольные (1, 3, 6, 10, 15, …) и пятиугольные (1, 5, 12, 22, …) числа.

На рис.2 и 3 показан способ образования этих чисел.

Любое n-e по порядку треугольное число можно найти по формуле

(2.3),

а любое n-e по порядку пятиугольное - по формуле

(2.4).

Рисунок 2

Рисунок 3

Все остальные числа древние математики представляли в виде прямоугольника размером m x n, выложенных из камней, где обязательно m1 и n1 (на рис.6 изображены всевозможные представления составного числа 12). Простые числа представляли в виде линий 1x n (рис.5). В связи с этим составные числа древние ученые называли прямоугольными, а простые - непрямоугольными числами.

Рисунок 4

Рисунок 5

Пример 4. Найти седьмое по порядку:

1) квадратное число;

2) треугольное число;

3) пятиугольное число.

Решение:

1) по формуле N=n2 при n=7 находим N=72=49.

по формуле при n=7 находим .

по формуле при n=7 находим .

Магические квадраты

Поместим натуральные числа от 1 до 9 в клетках квадрата размером 3 x 3 таким образом, чтобы все суммы чисел по горизонтали и по вертикали, а также по диагоналям были равны 15 (рис.6). Полученный квадрат, а также другие квадраты с теми же свойствами называют магическими квадратами.

Новое в образовании:

Организация конкурсной шоу-программы «Ералаш в лагере»
Как уже было сказано, конкурсные шоу-программы – это зрелищные концертные программы, целью которых служит выявление победителей в определенных номинациях. Данная форма работы была выбрана исходя из интересов и потребностей самих подростков, а также исходя из наличия педагогического потенциала данно ...

Сжатый пересказ как средство развития мыслительных процессов учащихся общеобразовательной школы
Исследования И.Д.Тихомирова, М.И. Омороковой, И.И. Срезневского, З.Д. Кочаровской, М.Р. Львова и др. были посвящены проблемам обучения сжатому пересказу учащихся общеобразовательной школы. Все исследователи склоняются к мнению о том, что излагать тему нужно уметь не только подробно, но и кратко кон ...

Формы и методы индивидуализации в обучении
В учениях Инге Унт при использовании понятия "индивидуализация обучения” необходимо иметь в виду, что при его практическом исследовании речь идёт не об абсолютной, а об относительной индивидуализации. Инге Унт считает, что в реальной школьной практике индивидуализация всегда относительна по сл ...