Элементы комбинаторики. Принцип Дирихле
Способ 2: Для каждого из трех городов существует 2
варианта маршрута по оставшимся городам. Если 3 умножить на 2, получится 6. Такой же ответ получится при помощи дерева вариантов.
Про второй способ рассуждений обычно говорят так: мы использовали правило умножения.
Комбинаторные задачи бывают самых разных видов. Но большинство из них решается с помощью двух основных правил – правила суммы и правила произведения. Продолжим знакомиться с правилом произведения (умножения), сформулируем утверждение: Если первую компоненту пары можно выбрать n способами , а вторую можно выбрать k способами , то число всевозможных комбинаций пар равно произведению чисел n и k.
Задача 3:
Саша, Петя, Денис, Оля, Настя часто ходят в кафе. Каждый раз, обедая там, они рассаживаются по-разному. Сколько дней друзья смогут это сделать без повторения?
Решение: Пронумеруем стулья, на которых должен сесть каждый, и будем считать, что они рассаживаются поочередно:
№1 - Саша - есть возможность выбрать из 5 вариантов (стульев)№2 - Петя - 4 варианта№3- Денис - 3 варианта№4- Оля - 2 варианта№5 - Настя- 1 вариант
Используя правило умножения, получаем: 5х4х3х2х1=120
Теперь решим задачу, применяя правило сложения.
Задача 4:
В коробке 6 синих карандашей и 12 красных. Сколько всего карандашей в коробке?
Решение: Мы легко можем ответить на вопрос, сложив число синих и красных карандашей, 6+12=18.
Изменим вопрос к задаче: сколькими способами можно выбрать из коробки один карандаш? Получим комбинаторную задачу. Число способов выбора одного карандаша равно числу всех карандашей в коробке, т.е. 18. Но 18 – это сумма 6 и 12, где 6 – число способов выбора синего карандаша, а 12 – число выбора красного карандаша. Т.о. правило суммы
можно сформулировать следующим образом.
Если объект а можно выбрать n способами, а объект b можно выбрать k способами, то выбор a или b можно сделать n+k способами.
Принцип Дирихле.
В несерьёзной форме принцип Дирихле гласит: «Нельзя посадить 7 кроликов в 3 клетки, чтобы в каждой было не больше 2 кроликов.»
Более общая формулировка: «Если z зайцев сидят в k клетках, то найдётся клетка, в которой не менее z/k зайцев.» Не надо бояться дробного числа f зайцев: если получается, что в ящике не меньше 7/3 зайцев, значит, их больше двух.
Доказательство принципа Дирихле очень простое, но заслуживает внимания, поскольку похожие рассуждения«от противного» часто встречаются. Допустим, что в каждой клетке число зайцев меньше, чем z/k. Тогда в k клетках зайцев меньше, чем
k · z/k = z. Противоречие!
Решение задачи с помощью принципа Дирихле сводится к выбору «кроликов» и «клеток». Иногда не совсем очевидно, кто в данной задаче является «кроликом», и что служит «клеткой».
1).
В классе 30 человек. В диктанте Стас Иванов сделал 13 ошибок, а остальные - меньше. Докажите, что по крайней мере три ученика сделали ошибок поровну (может быть, по 9 ошибок).
Решение: Это доказывается с помощью принципа Дирихле. Подумайте, кто здесь зайцы, и где клетки. (Здесь "зайцы" - ученики, а "клетки" - число сделанных ошибок). В клетку 0 "посадим" всех, кто не сделал ни одной ошибки, в клетку 1 - тех, у кого одна ошибка, в клетку 2 - две, . и так до клетки 13, куда попал один Стас Иванов.
Новое в образовании:
Физическая культура в структуре профессионального образования
педагогический физкультурный спортивный профессиональный Физическая культура - основа социально-культурного бытия индивида, основополагающая модификация его общей и профессиональной культуры. Как интегрированный результат воспитания и профессиональной подготовки она проявляется в отношении человека ...
Образовательные системы дошкольных учреждений
Существует различные виды образовательных систем, программ, альтернативные технологии дошкольного образования. Все программы предусматривают разные подходы к организации педагогического процесса в детском саду. В связи с этим дошкольным образовательным учреждениям России, работавшим до1989 года по ...
Монументальная мозаика как разновидность декоративно-прикладного искусства
обучение творческий художественный резьба К произведениям декоративно-прикладного искусства относится его древнейший вид — мозаика из дерева. Разберемся в особенностях этой мозаики. Такая необходимость вызвана тем, что нередко мозаичные картины (набранные в любом материале) выполняются в подражание ...