Элементы комбинаторики. Принцип Дирихле

В начале занятия кратко рассказать историю зарождения комбинаторики и об областях ее применения.

Определение. Задачи на составление числа возможных соединений элементов с определенными свойствами, которые можно составить из элементов заданного множества, называются комбинаторными.

Задача 1.

Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7?

Решение: Для того чтобы не пропустить и не повторить ни одно из чисел, будем выписывать их в порядке возрастания. Сначала запишем числа, начинающиеся с цифры 1, затем с цифры 4 и, наконец, с цифры 7. Получаем следующий расклад.

Таким образом, из трех данных цифр можно составить всего 9 различных двузначных чисел. Данный метод называется методом перебора

.

Однако существует другой подход к решению самых разных комбинаторных задач с помощью составления специальных схем. Внешне такая схема напоминает дерево, отсюда название –

дерево возможных вариантов

.

Вернемся к задаче о составлении двузначных чисел из цифр 1, 4 и 7. Для ее решения можно построить специальную схему.

Эта схема действительно похожа на дерево, правда, "вверх ногами" и без ствола. Знак “*” изображает корень дерева, ветви дерева – различные варианты решения. Чтобы получить двузначное число, надо сначала выбрать первую его цифру, а для нее есть три варианта: 1, 4 или 7. Поэтому из точки * проведены три отрезка и на концах поставлены цифры 1, 4 и 7.

Теперь надо выбрать вторую цифру, а для этого также есть три варианта: 1, 4 или 7. Поэтому от каждой первой цифры проведено по три отрезка, на концах которых снова записано 1, 4 или 7. Итак, получено всего 9 различных двузначных чисел. Других двузначных чисел из этих трех цифр составить невозможно.

Дополнительная подзадача:

Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7, если цифры десятков и единиц не повторяются?

Задача 2.

Туристическая фирма планирует посещение туристами в Италии трех городов: Венеции, Рима и Флоренции. Сколько существует вариантов такого маршрута?

Способ 1: Обозначим города их первыми буквами. Тогда код каждого маршрута будет состоять из трех букв: В, Р и Ф, каждая из которых должна быть использована только один раз, например, ВФР или ФРВ.

Варианты путешествия получаются следующие: ВРФ, ВФР, РВФ, РФВ, ФВР, ФРВ

, что хорошо видно из дерева вариантов.

Путешествие можно начинать в любом из трех городов. Если первой посетить Венецию, то затем можно поехать в Рим или во Флоренцию. Если вторым посетить Рим, то третьей будет Флоренция, если второй будет Флоренция, то третьим будет Рим. Это первые два варианта путешествия. Таким образом, всего существует 6 вариантов путешествия.

Новое в образовании:

Методические рекомендации по формированию учебной деятельности у учащихся младших классов коррекционных школ VIII вида
Помощь первокласснику в преодолении возникающих трудностей адаптационных затруднений в школе может оказать учитель, в силах которого создание необходимых условий для быстрого и безболезненного вхождения ребенка в школьную жизнь. В процессе психологической адаптации первоклассников должны решаться с ...

Рисунок как часть графического искусства, виды рисунка, материалы
В основе всех видов изобразительного искусства, в том числе и графики, лежит рисунок. Слово «рисунок» пришло на смену старославянским словам «знамя», «знамение», означавшим «создание образа», и «чертеж», «начертание», указывавшим на технику выполнения изображения. С XVIII века слово «рисунок» стало ...

Анализ диагностических методик исследования уровня сформированности письменной речи детей младшего школьного возраста с общим недоразвитием речи
Предупреждение и преодоление неуспеваемости учащихся, обусловленной имеющимися у них отклонениями в развитии речи, является главной задачей учителей-логопедов общеобразовательной школы. Наличие у детей даже слабо выраженных отклонений в фонетическом и лексико-грамматическом развитии является серьез ...