Элементы комбинаторики. Принцип Дирихле

Теперь применим принцип Дирихле,докажем утверждение задачи от противного. Предположим, никакие три ученика не сделали по одинаковому числу ошибок, то есть в каждую из клеток 0, 1, ., 12 попало меньше трех школьников. Тогда в каждой из них два человека или меньше, а всего в этих 13 клетках не больше 26 человек. Добавив Стаса Иванова, все равно не наберем 30 ребят. Противоречие. Можно ли утверждать, что ровно трое сделали поровну ошибок? Нет, конечно. Возможно, что все ребята, кроме Стаса, написали диктант без единой ошибки, то есть, все сделали по 0 ошибок. Можно ли считать, что по крайней мере четверо попали в одну "клетку" ? Нет, нельзя. Класс, в котором по 3 человека сделали 0, 1, 2 ошибки, по 2 человека - 3, 4, ., 12 ошибок и один - 13, удовлетворяет условию задачи.

2).

В одном доме живут 13 учеников одной и той же школы. В этой школе 12 классов. Докажите, что хотя бы два ученика, живущие в этом доме, учатся в одном и том же классе

Решение. В данной задаче классы – это клетки, а учащиеся – кролики. У нас имеется 13 «кроликов» и 12 «клеток». Учитывая принцип Дирихле, мы получаем, что хотя бы в одной клетке «кроликов» два. То есть, если в школе 12 классов, то максимум в них может учиться 12 учеников. А 13 ученик все равно будет учиться в одном из этих 12 классов.

Задачи для самостоятельного решения:

1).

В магазине «Все для чая» есть 5 разных чашек и 3 разных блюдца. Сколькими способами можно купить чашку с блюдцем?2).

Сколько существует 6-значных чисел, все цифры которых имеют одинаковую четность?3).

У Васи на куртке 3 кармана. Каким числом способов он может положить в эти карманы две одинаковые монетки?

4).

В корзине сидят котята — 2 черных, 2 рыжих и 1 полосатый. Сколькими способами можно выбрать трех котят так, чтобы они все были разной окраски?

5).

В корзине лежат яблоки двух сортов. Наугад берут из этой корзины несколько яблок. Какое наименьшее число яблок нужно взять, чтобы среди них оказались хотя бы два яблока одного сорта?

6).

Докажите, что любое число рублей можно уплатить, если покупатель и кассир имеют лишь трехрублевые и пятирублевые денежные знаки.

Новое в образовании:

Принципы профессионального обучения
В дидактике профессионально-технического образования принципы процесса профессионального обучения являются важнейшей категорией. Они связаны с целями обучения и воспитания и имеют исторический характер; некоторые из них утрачивают свое назначение, другие перестраиваются, возникают новые принципы, к ...

Организация экспериментального исследования по трудовому воспитанию посредством предметно – практической деятельности
Цель исследования – изучить и раскрыть роль предметно практической деятельности как средства трудового воспитания глухих детей младшего школьного возраста. Объект исследования – трудовое воспитание глухих детей младшего школьного возраста. Предмет исследования – предметно – практическая деятельност ...

Какие примеры используются в процессе воспитания
В процессе воспитания используются самые разнообразные примеры. 1. Это прежде всего лучшие эпизоды из жизни и деятельности известных людей – ученых, писателей, общественных деятелей и т.д. Школьников увлекают и вызывают глубокое уважение научные свершения Н.И. Лобаческого, Д.И. Менделеева, К.Э. Цио ...