Элементы комбинаторики. Принцип Дирихле

Теперь применим принцип Дирихле,докажем утверждение задачи от противного. Предположим, никакие три ученика не сделали по одинаковому числу ошибок, то есть в каждую из клеток 0, 1, ., 12 попало меньше трех школьников. Тогда в каждой из них два человека или меньше, а всего в этих 13 клетках не больше 26 человек. Добавив Стаса Иванова, все равно не наберем 30 ребят. Противоречие. Можно ли утверждать, что ровно трое сделали поровну ошибок? Нет, конечно. Возможно, что все ребята, кроме Стаса, написали диктант без единой ошибки, то есть, все сделали по 0 ошибок. Можно ли считать, что по крайней мере четверо попали в одну "клетку" ? Нет, нельзя. Класс, в котором по 3 человека сделали 0, 1, 2 ошибки, по 2 человека - 3, 4, ., 12 ошибок и один - 13, удовлетворяет условию задачи.

2).

В одном доме живут 13 учеников одной и той же школы. В этой школе 12 классов. Докажите, что хотя бы два ученика, живущие в этом доме, учатся в одном и том же классе

Решение. В данной задаче классы – это клетки, а учащиеся – кролики. У нас имеется 13 «кроликов» и 12 «клеток». Учитывая принцип Дирихле, мы получаем, что хотя бы в одной клетке «кроликов» два. То есть, если в школе 12 классов, то максимум в них может учиться 12 учеников. А 13 ученик все равно будет учиться в одном из этих 12 классов.

Задачи для самостоятельного решения:

1).

В магазине «Все для чая» есть 5 разных чашек и 3 разных блюдца. Сколькими способами можно купить чашку с блюдцем?2).

Сколько существует 6-значных чисел, все цифры которых имеют одинаковую четность?3).

У Васи на куртке 3 кармана. Каким числом способов он может положить в эти карманы две одинаковые монетки?

4).

В корзине сидят котята — 2 черных, 2 рыжих и 1 полосатый. Сколькими способами можно выбрать трех котят так, чтобы они все были разной окраски?

5).

В корзине лежат яблоки двух сортов. Наугад берут из этой корзины несколько яблок. Какое наименьшее число яблок нужно взять, чтобы среди них оказались хотя бы два яблока одного сорта?

6).

Докажите, что любое число рублей можно уплатить, если покупатель и кассир имеют лишь трехрублевые и пятирублевые денежные знаки.

Новое в образовании:

Обогащение коммуникативной компетентности подростков в психолого-педагогической теории и практике
Обогащение рассматривается как педагогическая стратегия предполагающая реализацию совокупности условий (форм, способов, приемов, средств, механизмов), обеспечивающих обогащение коммуникативной компетентности учащихся сельской школы. В Программе Ключевые компетенции 2000 (Oxford Cambridge and RSA Ex ...

Сущность концепции совершенствования технологической подготовки будущих учителей
Концепция высшего педагогического технологического образования, включающая переосмысление как содержательного компонента, так и его структурных частей, предполагает обновление методологических, психолого-педагогических и методических подходов к технологической подготовке, направленных на повышение ...

Политехнический принцип
Основные принципы всех процессов производства служат научно-производственной базой политехнического образования. Практическая реализация политехнического принципа в обучении квалифицированных рабочих выдвигает определенные требования к содержанию и методике теоретического и производственного обучен ...